Théorème des valeurs intermédiaires Nous ne raisonnons ici que sur des fonctions $f$ monotones sur un intervalle fermé $[a;b]$. On rappelle donc l'énoncé du TVI :

Soit $f$ une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$ fermé. Soit $k$ entre $f (a)$ et $f (b)$

Alors, l'équation $f (x) = k$ admet au moins une solution unique $\alpha \in [a;b]$

Les algorithmes suivant sont utilisés (via un ordinateur ou la calculatrice graphique) pour donner une valeur approchée de la solution $\alpha$.
L'algorithme du balayage repose sur un principe très simple : balayer les valeurs de l'intervalle $[a;b]$ en partant de $a$ jusqu'à tomber sur la bonne valeur... ... ce n'est pas bien malin, mais ça marche à tous les coups, et sans calculatrice, il vaut mieux être patient. Décrivons un peu plus précisément cette méthode :
  • On suppose ici que la fonction est croissante sur $[a;b]$ (cas décroissant plus loin).
  • La variable k contient la valeur liée à l'équation $f(x)=k$.
  • La variable x contiendra les valeurs successives de $x$ en partant de $a$
  • La variable p contient la précision avec laquelle on veut approcher $\alpha$ la solution de l'équation. Généralement, $p=0,001$ ou $10^{-4}$
Au début, on part de $x=a$ et $f(x)$ qui est inférieur à $k$ car la fonction est croissante. A chaque étape, on ajoute $p$ à $x$. Au moment où $f(x)$ dépasse $k$, c'est que $x$ est très proche de $\alpha$ (avec une précision de $p$). p prend la valeur de la précision souhaitée x prend la valeur de départ a y prend une valeur inférieure à k Tant que y < k alors x prend la valeur de x+p y prend la valeur de f(x) Fin Tant que Afficher x On prend l'exemple du polynôme définie sur $[0;2]$ par $f(x)=x^3+x-1$, représenté ci-dessous :

La fonction est continue et croissante, et d'après le TVI, l'équation $x^3+x-1=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;2]$.

On peut exécuter l'algorithme suivant pour connaître une valeur approchée de $\alpha$ à 10^(-3) prêt :